在机械设备故障监测中，盲源分离是一种有效的信号处理方法，在源信号和传递路径未知的情况下，仅对观测信号处理即可估计出源信号，因此，盲源分离思想在故障诊断领域中得到了广泛应用.Haile等[1]将BSS方法应用在旋转机翼的故障特征提取中；Elia等[2]将BSS方法与循环平稳方法结合起来对变速箱中轴承的磨损情况进行监测；Araujo等[3]将BSS方法与传递函数结合起来对振动系统的模态参数进行识别；周昊等[4]提出了一种基于粒子群优化算法的盲源分离方法，用于提取风机主轴承故障信号特征，取得了良好的诊断效果；席剑辉等[5]提出一种基于联合近似对角化和独立分量分析的盲源分离方法，实现对轴承故障声发射信号的分离.
但是在多数情况下，由于受到硬件成本和空间的限制，系统中只能安装一个传感器，传感器个数小于源信号个数，即为欠定盲源分离，因此，研究单通道复合故障的分离方法更具有广泛的现实意义.李志农等[6]结合小波分析和核典型相关分析(KCCA)各自的特点，提出一种基于小波-KCCA非线性欠定盲源分离方法；Wang等[7]提出了一种基于EEMD和ICA的欠定盲源分离方法，成功地对轴承故障信号进行分离.但是，EEMD会导致计算量的增加，同时也无法应用于嘈杂的工业环境.VMD[8]的出现为故障特征提取提供了新的机遇，VMD可以非递归地将多分量信号分解为多个带限本征模态函数，从而提高效率.同时滚动轴承的振动信号频率正好受频带限制，带宽受限的先验信息可确保在嘈杂的环境中保持高效.Tang等[9]将VMD和ICA相结合来解决轴承复合故障的欠定盲源分离问题.首先采用VMD算法对单通道的复合信号进行分解，得到若干BLIMFs，然后将这些BLIMFs作为输入矩阵，采用ICA算法对故障信号进行分离.
传统方法主要采用模态分解方法(如经验模态分解、集合经验模态分解以及变分模态分解等)，对单通道的观测信号进行分解，得到若干子信号分量，然后将其作为新的输入信号，采用ICA算法或其改进算法对新的观测信号进行分解，从而分离出故障源信号.ICA算法是基于矩阵的分解，通常需要施加一些约束条件，如正交性、独立性和恒模特性等才能保证分解的唯一性.在实际工程中，很难满足这些苛刻的条件，导致矩阵分解的非唯一性，以致很难保证盲源分离结果的准确性.
PARAFAC是一种基于张量的分解方法，在宽松条件下可以实现分解的唯一性[10]，因此，本文结合VMD和PARAFAC的各自优点，提出一种基于VMD-PARAFAC的轴承复合故障欠定盲源分离方法.同时，将提出方法与传统的基于VMD-ICA的故障盲源分离方法进行对比分析，以此验证所提方法的有效性.
1 欠定盲源分离
盲源分离方法能够在源信号以及传输通道参数未知的情况下，仅根据输入信号的统计特性即可从观测信号中恢复源信号，其计算过程可以表示为
X(t)=AS(t)+E(t)
(1)
式中：S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T为M个源信号；X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xN(t)]T为N个观测信号；A为M×N维混合矩阵；E(t)为误差.
因为源信号及混合矩阵的先验知识未知，所以必须做出如下假设：1)源信号在统计上彼此独立；2)混合矩阵A是列满秩矩阵；3)源信号数M小于或等于观测信号数N.
在实际工程中，为解决多故障的欠定盲源分离问题，首先采用VMD算法对观测信号分解，得到若干BLIMFs，将欠定盲源分离转化为非欠定盲源分离，然后将BLIMFs矩阵构造成三阶张量形式作为PARAFAC模型的输入，最后采用三线性交替最小二乘(trilinear alternating least squares，TALS)算法[11]对PARAFAC模型进行拟合，得到混合矩阵的估计，进而得到解混合矩阵和源信号估计.
2 VMD-PARAFAC模型建立
2.1 VMD算法
VMD是自适应信号分解的时频分析方法，可以通过特殊变分模型的迭代求解将多分量信号分解为多个BLIMFs.
观测信号X(t)可以分解为有限数量的子信号uk，每个子信号有不同的中心频率ωk和有限带宽.首先通过希尔伯特变换获得uk的单边频谱，即
(2)
式中：δ(t)为狄利克雷函数；*为卷积运算.
通过混频将每种模式的频谱转移到基带中，即
(3)
接下来，可以通过对式(3)中解调信号的L2范数估计每个模态的带宽.最后，将VMD构建为约束变分模型，即
(4)
式中，{uk}={u1，u2，…，uk}和{ωk}={ω1，ω2，…，ωk}分别为每个模态和模态对应的中心频率.
为了获得上述变分模态的最优解，引入二次惩罚因子α和拉格朗日乘数λ(t)到VMD中，使上述限制性问题转化为非限制性问题的求解，即
(5)
使用方向交替乘子算法[12]迭代交替更新{uk}、{ωk}、λ.
2.2 PARAFAC模型
将上述得到的分量uk构造新的观测信号Z(t)，把Z(t)分成不重叠的L段数据块，每段包含Nl=K/L个数据点，用l=1，2，…，L表示数据块的个数，则观测信号可表示为
Z(l，t)=WS(l，t)+E(l，t)
(6)
式中：Z(l，t)=[z1(l，t)，z2(l，t)，…，zN(l，t)]T为新的观测信号；W为白化矩阵.
每段观测信号的协方差矩阵RZ可表示为
RZ(Tl)=WRS(Tl)WT
(7)
式中，RS为源时滞协方差M×M阶矩阵.
假设源信号S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T之间互不相关，则RS为对角阵.将每段观测信号的协方差矩阵RZ(Tl)叠加在一起，构成三阶张量形式，记为Rn1，n2，l，其中，n1=1，2，…，N，n2=1，2，…，N，l=1，2，…，L.W中的元素记为wn×m，构建一个M×L维矩阵C，其表达式为
(8)
由式(7)可得
Rn1，n2，l=Wdiag(C)WT
(9)
记其标量形式为
(10)
通过TALS算法对张量Rn1，n2，l分解，得到矩阵W，进而估计出源信号.VMD-PARAFAC算法的流程图如图1所示.
3 仿真分析
为验证所提方法的有效性，构造一组仿真信号来模拟轴承复合故障信号，故障频率设为50和90 Hz，仿真源信号可表示为
(11)
图1 VMD-PARAFAC算法流程图
Fig.1 Flow chart of VMD-PARAFAC algorithm
为了得到虚拟观测信号，选择一个随机矩阵A=[0.859，0.461]，根据X(t)=AS(t)得到一组观测信号，再对观测信号添加20 dB的噪声.采样频率设为2 000 Hz，采样点数为2 000，则观测信号的时域波形和频谱如图2、3所示.从图3可以看出，观测信号的频谱中包含了50和90 Hz的故障特征频率，说明两个仿真故障源信号完全混叠在一起，无法准确判断故障类型.
图2 仿真信号的波形
Fig.2 Waveform of simulated signal
图3 仿真信号的频谱
Fig.3 Frequency spectrum of simulated signal
用传统的VMD-ICA方法和所提VMD-PARAFAC方法分别对观测信号进行处理，得到估计信号的频谱图如图4、5所示.从图4可以看出，两个仿真故障源信号完全混叠在一起，采用VMD-ICA方法没有达到良好的分离效果.但是，从图5可以清楚地看到，两个混叠的故障信号被分离出来，故障特征频率与设定的完全相同，充分证明了所提方法的有效性.
图4 仿真估计信号的频谱(VMD-ICA)
Fig.4 Frequency spectrum of simulation estimated signal(VMD-ICA)
4 实验研究
实验所用数据采自北京化工大学，实验装置如图6所示.主加速度传感器安装在轴承箱的顶部和侧面，获得2个通道的振动信号.以轴承外圈-滚动体的复合故障为研究对象，根据文献[9]给定的轴承参数和转频可以计算出外圈和滚动体各自的故障频率，分别为86.3和102.3 Hz.实验采样频率设为100 kHz，选取一组传感器数据中的50 000个点作为实验数据.图7、8分别为观测信号的波形和频谱.
图5 仿真估计信号的频谱(VMD-PARAFAC)
Fig.5 Frequency spectrum of simulation estimated signal(VMD-PARAFAC)
图6 实验系统和传感器的位置
Fig.6 Experimental system and sensor locations
图7 观测信号的波形
Fig.7 Waveform of observed signal
图8 观测信号的频谱
Fig.8 Frequency spectrum of observed signal
从图8仅能看出外圈的故障特征频率为86.9 Hz，滚动体故障特征频率被完全掩盖，无法看出滚动体的故障特征频率.
采用基于VMD-ICA的盲源分离方法和VMD-PARAFAC的盲源分离方法对观测信号进行处理，估计信号的频谱分别如图9、10所示.根据图9可以看出，外圈故障特征频率为86.9 Hz，与理论计算的特征频率一致.滚动体的故障特征频率为94.6 Hz，与理论计算的故障特征频率相差较大，无法看出滚动体的故障特征.根据图10可以看出，外圈故障特征频率为86.9 Hz，刚好对应理论计算的特征频率，滚动体的故障特征频率为100.7 Hz，与理论计算的故障特征频率102.3 Hz有一点偏差，可能与轴承滑动和安装误差有关.但也能充分说明所提方法能够对轴承外圈-滚动体复合故障信号进行分离.
图9 估计信号的频谱(VMD-ICA)
Fig.9 Frequency spectrum of estimated signal(VMD-ICA)
图10 估计信号的频谱(VMD-PARAFAC)
Fig.10 Frequency spectrum of estimated signal(VMD-PARAFAC)
5 结 论
通过上述分析可以得出以下结论：
1)基于平行因子分解唯一性的独特优势，将PARAFAC与VMD结合起来，应用到轴承外圈-滚动体复合故障欠定盲源分离中.该方法首先采用VMD算法对观测信号分解，得到多个BLIMFs分量，然后将这些分量矩阵构造成张量形式，作为PARAFAC算法的输入，最后采用TALS算法对PARAFAC模型进行拟合，得到混合矩阵估计，从而估计出源信号.
2)所提方法与传统的VMD-ICA盲源分离方法进行了对比分析，仿真和实验分析也证明该方法具有实用价值.
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