近十年来，混沌理论[1]得到了迅速发展.混沌系统的特殊性在于加入了确定性输入后，产生了类似随机的运动，即内随机性.这种内随机性不同于一般随机性，也不同于周期性，具有两种特点.经大量研究发现，混沌广泛存在于人类研究的各个领域.混沌现象不仅在流体力学、物理学、化学等领域被研究和应用，医学上已经证实，麻疹的流行、血细胞生成、心肺功能的相互作用等多种人体生物现象也都是呈混沌态的.同时在社会科学中，混沌理论也被用来探讨人口迁移和用电预测[2]等社会现象.已有学者提出，将混沌信号应用在人工智能中，人类将得到更高智慧的人工智能.目前对混沌理论的研究包括：提出特殊的新系统，如没有平衡点的系统[3]、多平衡点的系统[4]、具有无穷多平衡点的系统[5]、具有共存吸引子的系统[6]、高维系统[7]、高次系统、分数阶系统[8]、切换系统[9]或者兼具以上特征的多特征系统.对这些系统进行动力学分析，证明其混沌性，挖掘其新的特征并进行同步分析[10]和电路实现[11].在以往所提出的高次混沌系统中，含6次项的高次系统已经较为特殊，本文提出了含13次项的四维超混沌系统，其在x1-x2-x3三维空间中呈帽子形，在x1-x2平面投影为嘴唇形.
1 四维超混沌系统
1.1 超混沌系统概述
四维超混沌系统的表达式为
(1)
式中，a、b、c、d、e、f、g、h、l、m、n为系统中的未知参数.式(1)中包含了11项，其中5个1次项，3个2次项，1个3次项，1个6次项，1个13次项.
1.2 超混沌系统的相图及李雅普诺夫指数谱
当a=20，b=14，c=4，d=8，e=6，f=5，g=11，h=2.8，l=1.5，m=1，n=1且初始值取(0.01，0.01，0.01，0.01)时，系统(1)是混沌的，其相图如图1所示.
图1 系统(1)相图
Fig.1 Phase diagram of system(1)
选取初始值为(0.01，0.01，0.01，0.01)时，系统(1)在1 000 s以内的Lyapunov指数谱如图2所示.
图2 系统(1)Lyapunov指数谱
Fig.2 Lyapunov exponent spectrum of system(1)
式(1)状态方程的维数为4，状态方程的阶数大于2，且LE1>0，LE2>0，LE3=0，LE4<0，LE1+LE2+LE4<0，故系统(1)为超混沌系统.
2 广义反同步控制器设计及仿真实验
2.1 非线性广义反同步控制器设计
响应系统和驱动系统的轨道之间满足某一特定函数关系的同步，称为广义同步，本文给出设计非线性广义反同步控制器的方法.指定系统(1)为驱动系统，则响应系统为
(2)
令
(3)
将式(2)与式(1)相加，可得
(4)
令非线性控制器为
(5)
将式(5)代入式(4)，则有
(6)
取Lyapunov函数
显然V正定.
e1(-ae2+ω1)+e2(de2+ω2)+
e3(-ge3+ω3)+e4(me1+ne4+ω4)
为了保证
令
(7)
可得
当d=8，g=11，n=1时，
从理论上证明了响应系统(2)和驱动系统(1)反同步.
2.2 仿真实验
在Matlab平台下，取误差为10-6，x1(0)=0.01，x2(0)=0.01，x3(0)=0.01，x4(0)=0.01，y1(0)=0.02，y2(0)=0.02，y3(0)=0.02，y4(0)=0.02，在非线性控制器作用下，驱动系统与响应系统能迅速同步.图3为加入控制器时系统(1)和(2)的反同步误差曲线.
图3 加入控制器时系统(1)和(2)的反同步误差曲线
Fig.3 Curves of anti-synchronization errors of systems (1)and(2)after addition of controller
3 结 论
本文提出了含超高次项四维超混沌系统，在非线性反同步控制器作用下，驱动系统与响应系统能够迅速同步.因该超混沌系统具有一定的特殊性，在保密通信及图像加密中具有更高的实用价值.
[1] 赵柏山，刘晓晓，张学松.一种限定混沌状态变量运动区域的方法[J].沈阳工业大学学报，2019，41(1)：62-67.
(ZHAO Bai-shan，LIU Xiao-xiao，ZHANG Xue-song.A method of limiting motion area of chaotic state variables[J].Journal of Shenyang University of Technology，2019，41(1)：62-67.)
[2] 李媛，武岩岩，王思琪.基于混沌时间序列的Elman神经网络工业用电预测[J].沈阳工业大学学报，2016，38(2)：196-199.
(LI Yuan，WU Yan-yan，WANG Si-qi.Elman neural network for forecasting industrial electricity consumption based on chaotic time series[J].Journal of Shenyang University of Technology，2016，38(2)：196-199.)
[3] Viet-Thanh P，Vaidyanathan S，Volos C，et al.A no-equilibrium hyperchaotic system with a cubic nonli-near term[J].International Journal for Light and Electron Optics，2016，127(6)：3259-3265.
[4] Munmuangsaen B，Srisuchinwong B.A hidden chaotic attractor in the classical Lorenz system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2018，107：61-66.
[5] Viet-Thanh P，Jafari S，Volos C，et al.A gallery of chaotic systems with an infinite number of equilibrium points[J].Chaos，Solitons and Fractals，2016，93：58-63.
[6] Qiang L，Tsafack N，Jacques K，et al.Coexisting attractors and circuit implementation of a new 4D chao-tic system with two equilibria[J].Chaos，Solitons and Fractals，2018，107：92-102.
[7] Singh J P，Binoy K R，Sajad J.New family of 4-D hyperchaotic and chaotic systems with quadric surfaces of equilibria[J].Chaos，Solitons and Fractals，2018，106：243-257.
[8] Viet-Thanh P，Sifeu T K，Christos V，et al.A simple three-dimensional fractional-order chaotic system without equilibrium[J].International Journal of Electronics and Communications，2017，78：220-227.
[9] Song Z.Multi-switching combination synchronization of three different chaotic systems via nonlinear control[J].Optik，2016，127：10247-10258.
[10] Lap-Mou T，Hsien-Keng C，Shih-Yu L.Adaptive synchronization of complicated chaotic systems with uncertainties via fuzzy modeling-based control strategy[J].Information Sciences，2018，427：18-31.
[11] Lai Q，Wang L.Chaos，bifurcation，coexisting attrac-tors and circuit design of a three-dimensional continuous autonomous system[J].International Journal for Light and Electron Optics，2016，127：5400-5406.