模糊控制一直被认为是解决复杂非线性系统建模和控制问题的一种行之有效的方法.模糊控制中最为常见的是T-S模糊控制，T-S模糊控制研究非线性系统的稳定性与控制器设计是近些年研究的热点问题.Tanaka等[1]对T-S模糊控制系统稳定性问题进行了研究，给出了稳定的充分条件，但是要求找到一个正定矩阵P同时满足r个矩阵不等式，在实现的过程中是非常困难的；Ho等[2]利用T-S模糊模型研究了含有不确定参数的系统，但是忽略了时滞性对系统造成的影响；Wu等[3-4]研究了不确定T-S模糊系统的鲁棒控制问题.但是针对时滞非线性T-S模糊系统的研究成果相对较少.
MJSs是用来描述系统结构和参数随时间变化的一类随机混合系统.Wang等[5-7]研究了MJSs的滤波问题；Samidurai等[8-9]针对MJSs的鲁棒镇定性问题进行了研究；Ji等[10]研究了MJSs的可控性和可观测性问题.但是目前对于T-S模糊MJSs的研究成果并不多.
滑模控制是通过设计不连续的SMC律，在有限的时间内将系统的轨迹驱动到预先设计的、具有稳定性等理想特性的滑动面中，并且最终保持稳定.SMC问题已广泛应用到电力系统[11]、生物系统[12]等复杂系统中，SMC的研究引起越来越多学者的关注.Jiang等[13]研究了非线性随机系统的自适应SMC问题；Li等[14-16]基于自适应或耗散的积分型滑模控制方法进行了深入研究；Zohrabi等[17]研究了具有部分未知转移概率MJSs的随机SMC问题，利用自由加权矩阵法和线性矩阵不等式方法，给出了滑动模态渐近稳定的充分条件，但是文中没有考虑非线性和时滞.关于时滞非线性T-S模糊MJSs的SMC问题的研究成果仍较少，而大多实际系统多为非线性的，并存在时滞现象，因此对于时滞非线性T-S模糊MJSs的SMC问题研究具有重要意义.
本文主要研究了一类时滞非线性T-S模糊MJSs的SMC问题.主要贡献有两点：1)提出一个新的积分型滑模面函数，得到带有状态时滞和非线性项的等效控制律，可以消除系统中的非线性项；2)通过设计恰当的滑模控制律，保证系统的状态轨迹在有限的时间内驱动到指定的滑动面.在本文中，对于实数矩阵，X>0表示矩阵X是正定的，E表示弱无穷小算子，*表示矩阵的对称项，‖·‖表示矩阵的欧几里得范数.
1 系统描述
T-S模糊模型描述如下：
Mode Rule i：Z1(t) is Mi1 and … and Zp(t) is Mip
(1)
式中：x(t)∈Rn为系统的状态向量；u(t)∈Rm为系统的控制输入；Mij(i=1，2，…，r，j=1，2，…，p)为模糊集合，r为模糊规则数；Z1(t)，Z2(t)，…，Zp(t)为前件变量；p为前件变量的个数；Ai(rt)∈Rn×n；Adi(rt)∈Rn×n；Bi(rt)为已知具有恰当维数的常数矩阵；φ(t)为初始函数；τ(t)为时滞，满足
(2)
f(x(t)，x(t-τ))∈Rm为非线性项，满足
(3)
其中，
为已知的标量.{rt，t≥0}表示定义在有限状态空间S={1，2，…，N}上的连续时间Markov过程，其转移速率矩阵П
{λwv}描述如下：
(4)
式中：
表示从模态w到模态v的状态转移速率，满足
为简单起见，rt用w表示.
经过模糊化推理[18]，得到时滞非线性系统的全局T-S模糊系统为
(5)
式中：
z(t)=[z1(t)，z2(t)，…，zp(t)]T.
其中，Mij(zj(t))表示模糊前件zj(t)在模糊集合∀i∈S上的隶属度函数，满足
定义1 如果对于任意初始条件x0、r0，满足
则下列系统
是渐近稳定的[19].
引理1 (Schur补引理[20])对于如下LMI：
其中，
则上式等价于
通常滑模控制设计分两步完成：
1) 设计一个恰当的滑模面函数，使得系统具有渐近稳定的理想性质；
2) 设计一个滑模控制律，保证状态轨迹在有限时间内到达滑模面.
2 滑模面设计和稳定性分析
针对系统(5)设计如下积分型滑模面函数：
(Aw，i+Bw，iKw，j)x(β)dβ-
Aw，dix(β-τ(t))dβ
(6)
式中：
为非奇异矩阵；Kw，j为待定矩阵，使得Aw，i+Bw，iKw，j为赫尔维茨(Hurwitz)矩阵.
对s(t)求导，得到
Bw，i(u(t)+f(x(t)，x(t-τ(t))))]
(7)
令
得到等效控制律为
f(x(t)，x(t-τ(t)))
(8)
将式(8)代入式(5)得到滑动模态方程，即
(9)
下面分析滑动模态(9)的渐近稳定性.
定理1 滑动模态系统(9)是渐近稳定的，若∃对称矩阵
给定标量
满足下列不等式：
(10)
其中，
证明：考虑如下Lyapnuov函数
V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)
(11)
V1(t)=xT(t)Px(t)
对于∀i∈S则有
(12)
EV2(x(t)，w，t)=
(13)
(14)
根据式(2)可得
(15)
(16)
令
对于任意矩阵Fij，i，j∈S，则有
(17)
(18)
其中，
结合式(12)～(18)可得
EV(x(t)，w，t)≤
(19)
其中，
根据引理1和式(10)可得
(20)
由式(19)可得，存在标量λ>0，使得下式成立，即
(21)
即证.
3 滑模控制律的设计
本文设计恰当的滑模控制律，保证状态轨迹在有限时间内能够到达预先设计的具有较理想特性的滑动面.
定理2 对于滑模动态系统(9)，若滑模控制律设计如式(22)所示，则能够保证系统状态轨迹在有限时间内到达滑动面，其表达式为
(22)
其中，
证明：选取Lyapnuov函数
(23)
对V(t)进行求导计算，即
[-Bw，iKw，jx(t)+Bw，i(u(t)+f(x(t)，
x(t-τ(t))))]≤
sT(t)GaBau(t)-sT(t)GaBau(t)·
(24)
将式(22)代入式(24)可得
对上式从0到t进行积分，可得
因此，存在
当t≥tr时，V(t)=0，即s(t)=0.系统的轨迹可以在有限时间内到达滑模面.
4 仿真实例
考虑单连杆机械臂模型，其微分方程[21]可描述为
x1(t)=μx2(t)+(1-μ)x2(t-τ(t))
(25)
式中：x1(t)和x2(t)分别为单连杆机械臂的角度和角速度；μ∈[0，1]为延迟系数；Mp为有效载荷的质量；Jp为惯性矩；g为重力加速度；l为手臂长度；D(t)为不确定的粘滞系数.参数可选取为：g=9.81，L=0.5，D(t)∈[1.8，2.2]，因为有效载荷的质量和惯性矩存在三个跳变，令M1=J1=1，M2=J2=5，M3=J3=10，转移速率矩阵为
考虑存在2个模糊子系统，得到T-S模糊MJSs，即
Bpu(t)]
式中，
隶属度函数选择如下：
其中，
利用定理1和定理2，可得
K11=[4.807 8，-5.842 7]，
K12=[-0.368 2，-4.571 1]，
K21=[-0.884 3，-9.727 8]，
K22=[-2.958 2，-51.757 4]，
K31=[-3.758 3，-4.805 9]，
K32=[-5.145 4，-44.817 1].
为模拟系统的状态响应，本文设初始值为
-0.783 2，Ga=Ba=1.
图1为本文设计的滑模面函数图像，可以看出滑动面收敛时间短，但振幅在开始时间有所波动.图2为模型的控制输入，从图2可以看出，控制输入具有良好的性能.图3为闭环滑动模态系统的状态响应，可以看出，本文提出的方法是有效的，所设计的滑模控制律可以使系统达到稳定状态.
图1 滑模面函数
Fig.1 Sliding surface function
图2 控制输入
Fig.2 Control input
图3 系统状态响应
Fig.3 Response of system state
5 结 论
本文提出了一个新的积分型滑模函数，消除了系统中的非线性项，得到闭环系统渐近稳定性的充分条件，设计恰当的滑模控制律，使得系统的状态轨迹在有限时间内快速达到滑动面.下一步可以针对含时滞的广义马尔科夫跳变系统进行研究.
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