随着经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，产品更新周期缩短，环境污染和能源短缺问题日益突出。因此，政府出台了环保政策，鼓励企业回收利用废旧产品。从宏观的角度来看，产品的回收再利用可以提高资源的利用效率并满足循环经济发展的需要；从工业的角度来看，它有利于实现行业内的循环；从业务的角度来看，它可以降低企业成本，提高企业的竞争力。管理领域的回收研究主要集中在闭环供应链上。因此，由传统供应链和回收再制造构成的闭环供应链的管理成为企业管理者和学术界研究的热点。
近年来，学者们对闭环供应链管理决策进行了大量的研究。Savaskan等[1]研究了静态环境下三种不同回收方式的最优回收渠道选择问题，发现零售商负责回收废旧产品为最优决策模型。学术界利用Stackelberg理论研究闭环供应链的最优决策，在静态环境下取得了许多成果。Gao[2]将废旧产品的质量水平和加工能力引入闭环供应链，对比了制造商回收、零售商回收和第三方回收三种模式的最优策略。聂佳佳等[3]和倪明等[4]从再造品质量和需求不确定性两个不同的角度研究了双重回收渠道模型下的定价决策。Huang等[5]研究了具有双重回收渠道的闭环供应链的最优策略，分别从定价决策和回收决策两个角度分析了分散和集中情况下供应链的性能。Zhu等[6]在客户议价的基础上进一步构建了由制造商、零售商和网络回收平台组成的双重回收渠道模型，研究了集中决策、分散决策和合同协调三种情景下的最优决策，同时考虑价格和服务的影响。Yao等[7]将价格和服务考虑在内，通过建立静态和动态价格模型，研究了双通道闭环供应链的最优定价问题。Giovanni等[8]以降低成本和扩大需求为复苏动机，研究了制造商和零售商同时采用动态复苏时闭环供应链的协调机制。Minner等[9]将产品生命周期、季节等动态参数纳入闭环供应链回收管理中，研究了闭环供应链产品的动态回收策略。Chen等[10]基于回收产品的有限供应，研究了闭环供应链中新产品和再制造产品的动态微分定价策略。徐朗等[11]以利润最大化为目标，比较分析了集中式决策和分散式决策的最优策略。以上研究都假设供应链成员是完全理性的人，以利润最大化为目标。
学者对闭环供应链的研究主要集中在回收模式、回收渠道、市场结构、政府干预、信息共享和环境保护意识方面，基于供应链成员是完全理性的假设，忽略了现实中公平关切行为(例如“嫉妒/自豪”[12-13]等行为)对人们定价策略的影响。
一些学者在研究闭环供应链管理时考虑了公平问题。Katok等[14]在供应商议价能力的基础上，研究了由供应商和零售商组成的闭环供应链系统的最优决策问题，发现零售商的公平关切行为影响着各成员的决策。Caliskandemirag等[15]研究了需求为指数函数时零售商公平关切模型下闭环供应链协调机制。戴道明等[16]分析了制造商意识到零售商公平与否和制造商公平关切模式下的最优决策情况，提出闭环供应链系统中制造商为领导者并负责回收废旧产品。姚峰敏等[17-19]分别研究了制造商公平关切、广告效应和零售商主导零售商公平关切对供应链成员最优决策的影响。张克勇等[20]分析了制造商对零售商公平关切行为感知与否下的最优定价策略。王玉燕等[21-22]考虑了网络平台公平关切问题对闭环供应链的影响，先后研究了不同主导模式下分散决策和集中决策的最优定价问题。Cui等[23]将公平问题引入传统的双通道模型中，探讨公平问题如何影响闭环供应链的协调。Pavlov等[24]将公平问题和有限理性分别引入供应链成员模型构建中，通过仿真实验发现该模型比标准理论能更有效地组织数据。Choi等[25]研究了由两个制造商和一个零售商组成的重复交互的闭环供应链模型，发现供应链成员往往具有相似的利润水平，但仍然非常注重成员公平。马德青等[26]构建考虑零售商公平的闭环供应链随机微分博弈模型，探讨了供应链中各成员的最优决策情况。
基于上述文献，文章在描述和定义问题的基础上，首先建立了系统回收率的线性微分方程，接着在考虑公平关切的基础上构建制造商和零售商的利润函数、效用函数及HJB方程，得到制造商公平模型下供应链成员的最优定价和最优利润，最后进行参数敏感性分析。
一、问题描述及模型构建求解
1. 问题描述
本文以制造商和零售商组成的闭环供应链动态系统为研究对象，制造商为市场领导者。制造商不仅负责新产品和回收产品可利用部件的生产，还要对零售商回收的旧产品进行回购。零售商负责销售产品以及回收废旧产品。制造商的公平关切行为是以自身的纳什讨价还价相对公平参考点为依据，将其实际获得的利润与相对公平参考点比较进而得到制造商的效用函数。本文不考虑零售商的公平关切行为，零售商的效用函数即其自身的利润函数。
闭环供应链成员以效用最大化为目标，效应值受成员利润及公平关切程度影响。供应链成员运作机理为：制造商先制定产品批发价格，零售商依据批发价格制定产品的销售价格并确定废旧品回收努力水平，销售价格在一定程度上影响销售量，进而影响制造商和零售商的利润水平，最终影响批发价格和销售价格的再次制定。其中，废旧品的回收率受回收努力程度和产品老化的影响。模型的符号说明如表1所示。
表1 符号的含义
符号含义符号含义cm新产品单位制造成本cr再制品单位成本Δ=cm-cr再制品单位节约成本w(t)单位批发价格p(t)单位销售价格prm单位转移价格φ市场容量β消费者对售价的敏感系数τ(t)回收率A(t)零售商回收努力程度ρ回收努力对回收率的影响系数λM制造商公平关切系数λR零售商公平关切系数πM(t)制造商利润πR(t)零售商利润UM(t)制造商的效用函数UR(t)零售商的效用函数r市场利率k回收成本系数
综上，本文提出假设：
假设1 新产品和再制品在销售和功能上无差别。新产品单位制造成本比再制品单位成本高，即Δ=cm-cr>0。
假设2 在任意时间t时刻，市场需求是销售价格的线性函数，即Q(p(t))=φ-βp(t)。
假设3 参照文献[26]的处理方法，描述废旧品回收率的变化情况。(1)废旧品回收率与零售商的回收努力水平呈正比。(2)由于回收产品老化等原因造成回收率的衰减，其衰减系数设为δ，回收率与衰减系数成反比。综合上述两种因素，废旧品回收率的动态过程可以用如下的线性微分方程来刻画：
dτ(t)=[ρA(t)-δτ(t)]dt
(1)
式中：τ0为系统初始的回收率，表示消费者的环保意识；τ(0)=τ0。
2. 模型构建
在上述假设的基础上，制造商和零售商的利润函数可以分别表示为
πM=(w(t)-cm+Δτ(t)-prmτ(t))·
(φ-βp(t))
(2)
πR=(p(t)-w(t)+prmτ(t))·
(3)
式(3)中，
代表零售商的回收努力成本(根据AJ模型得到)。
参照杜少甫文献[13]中构造的纳什讨价还价相关公平关切模型，假设制造商、零售商t时刻的相对公平参考点为(π-M(t)，π-R(t))。如果行为主体实际获得的利润高于相对公平参考点(与自身相比)，主体表现为“自豪”；实际获得的利润低于相对公平参考点，则表现为“嫉妒”。因此，制造商和零售商的效用函数可分别表示为
UM(t)=πM(t)+λM(πM(t)-π-M(t))
(4)
UR(t)=πR(t)+λR(πR(t)-π-R(t))
(5)
令π(t)为t时刻供应链总利润，则π(t)=πM(t)+πR(t)，π(t)=π-M(t)+π-R(t)。
根据纳什讨价还价博弈解的公理化定义，任意t时刻的相对公平参考点为下列纳什讨价还价博弈模型的解，即
(6)
根据式(2)～(5)，方程(6)可以表示为
(7)
对式(7)求πR(t)的二阶导数得∂2(UM(t)·UR(t))/∂(πR(t))2=-2(1+λM)(1+λR)<0，则对任意时刻t∈[0，∞)，UM(t)UR(t)是πR(t)的严格凹函数，即存在π*R(t)使UM(t)UR(t)取得最大值，且在π*R(t)处UM(t)UR(t)对πR(t)的一阶导数为零。根据纳什讨价还价的定义，纳什讨价还价在t时刻的最优解满足π-R(t)=π*R(t)。此时可以得到π-R(t)=(1+λR)π(t)/(2+λR+λM)。又根据π(t)=π-M(t)+π-R(t)可得，π-M(t)=(1+λM)π(t)/(2+λR+λM)。
3. 模型求解
制造商具有公平关切行为，追求效用最大化；零售商没有公平关切行为，追求自身利润最大化。此时λM=λ>0，λR=0，对任意的t∈[0，∞)可以得到π-M(t)=(1+λ)(πM(t)+πR(t))/(2+λ)，π-R(t)=(πM(t)+πR(t))/(2+λ)。
制造商和零售商的效用函数分别为
UM(t)=(1+λ)(w(t)-cm+Δτ(t)-prmτ(t))·
Δτ(t)-prmτ(t))(φ-βp(t))+
(p(t)-w(t)+prmτ(t))(φ-βp(t))-
(8)
UR(t)=(p(t)-w(t)+prmτ(t))·
(9)
此时，制造商和零售商的HJB方程可分别表示为
rVM(τ)=max{(1+λ)(w(t)-cm+Δτ(t)-
cm+Δτ(t)-prmτ(t))(φ-βp(t))+
(p(t)-w(t)+prmτ(t))(φ-βp(t))-
(10)
rVR(τ)=max{(p(t)-w(t)+prmτ(t))·
(11)
该闭环供应链成员的决策顺序为制造商先制定t时刻新旧产品的批发价及从零售商手中回购产品时的转移价格。接着，零售商确定对应时刻的产品销售价格及其回收努力水平。(以下结果中为简化表达式，时间t省略)。
命题：零售商负责回收废旧产品，制造商具有公平关切行为时，零售商的最优销售价格、制造商的最优批发价格及最优回收努力水平分别为p*=
证明：根据逆向归纳法，首先利用式(11)推导出产品的销售价格，其结果为
(12)
(13)
首先，将式(12)代入式(10)，然后对批发价格求导得到制造商的最优批发价格为
(14)
其次，将式(14)代入零售商销售价格式(12)，最终得到零售商的最优销售价格为
(15)
最后，求解制造商和零售商的最优价值函数。根据问题结构和内在函数关系，假设制造商和零售商的最优价值函数表达式为
(16)
得到制造商和零售商最优值函数的一阶导数为
(17)
然后，将式(13)～(17)代入式(10)、(11)得到：
(18)
(19)
式(18)、(19)对于任意的回收率τ≥0均成立，因此将式(18)、(19)中等式两边τ2和τ的系数及常数项对应相等转化为如下所示的方程组：
(20)
(21)
为方便计算令
将mi(i=1，2，3，4)代入式(20)、(21)，得到：
(22)
(23)
利用Matlab符号方程求解法，得到零售商和制造商最优值函数的系数g1、g2、g3，f1、f2、f3，即
(24)
(25)
将式(24)、(25)代入式(16)得到制造商公平关切零售商回收旧产品模式下制造商和零售商的最优值函数。根据线性微分方程的求解方法，得到t时刻系统回收率的表达式为
(26)
二、仿真分析
1. 产品利润和系统回收率的演化路径
(1) 产品利润的演化路径
运用Matlab软件对前文所建模型进行仿真分析。分别假设：cm=6，Δ=2，τ0=0，ρ=2，δ=1，k=100，r=0.1，φ=50，β=0.8。制造商公平关切下，零售商负责回收废旧产品时，制造商和零售商的利润随时间变化的情况如图1所示。
分析图1可知，在制造商公平关切模型下，零售商负责废旧产品回收时，随着时间的推移制造商和零售商利润都表现为增加趋势，并最终趋于稳定水平，且制造商的利润水平一直优于零售商的利润水平。
图1 制造商和零售商利润随时间变化情况
(2) 系统回收率的演化路径
将cm=6，Δ=2，τ0=0，ρ=2，δ=1，k=100，r=0.1，φ=50，β=0.8代入式(26)，在上下置信区间95%的置信水平下，得到制造商公平关切模式下系统回收率期望随时间的变化情况，如图2所示。
图2 系统回收率随时间变化情况
由图2可知，随着时间的推移系统回收率逐渐上升，并最终收敛到0.37的稳定状态。
2. 参数敏感性分析
(1) 单参数敏感性分析
为探索单个参数变动对相关变量的影响情况，分析公平关切系数λ、新产品单位制造成本cm和再制品单位节约成本Δ对系统回收率、制造商单位批发价格和零售商单位销售价格及回收努力水平的影响。即分别将系统回收率τ(t)、制造商批发价格w*(t)、零售商销售价格p*(t)及回收努力水平A*(t)对公平关切系数λ、新产品单位制造成本cm和再制品单位节约成本Δ三个参数进行求导。
推论：零售商负责回收废旧产品模式下，制造商公平关切时，即制造商追求供应链效用最大化，零售商追求自身利润最大化时，得到∂τ(t)/∂λ<0，∂τ(t)/∂cm=0，∂τ(t)/∂Δ>0，∂w*(t)/∂λ>0，∂w*(t)/∂cm>0，∂w*(t)/∂Δ<0，∂p*(t)/∂λ>0，∂p*(t)/∂cm>0，∂p*(t)/∂Δ<0，∂A*(t)/∂λ<0，∂A*(t)/∂cm<0，∂A*(t)/∂Δ>0。
上述推论表明，随着制造商公平关切程度的增加，系统回收率下降，制造商提高批发价格，零售商提高销售价格但降低回收努力水平。随着新产品单位成本的增加，制造商提高批发价格，零售商提高销售价格并降低回收努力水平。随着再制品单位节约成本的增加，系统回收率增大，制造商降低批发价格，零售商降低销售价格但提高回收努力水平。
(2) 双参数敏感性分析
为了更好地研究参数变化对相关变量的影响，进行双参数敏感性分析。分别在制造商公平关切模型下，考虑回收努力水平对回收率的影响系数ρ和回收再制品单位节约成本Δ及回收努力水平对回收率的影响系数ρ和回收率的衰减系数δ这两对参数中，两个参数同时变动对制造商利润、零售商利润及系统回收率的影响，如图3、4所示。
图3 制造商利润、零售商利润和系统回收率随ρ和Δ变化的趋势
分析图3可知：当零售商负责废旧产品的回收、制造商具有公平关切行为时，整体而言制造商利润一直优于零售商利润。制造商利润随回收努力水平对回收率影响系数的增大而增大；零售商利润水平随回收努力水平对回收率影响系数的增大而增大，随回收再制造单位节约成本的增大而减小；系统回收率水平随回收努力水平对回收率的影响系数和回收再制品单位节约成本的增大而增大。
图4 制造商利润、零售商利润和系统回收率随δ和ρ变化的趋势
分析图4可知：制造商利润水平随回收率衰减系数的增大而减小；零售商利润随回收率衰减系数和回收努力水平对回收率影响系数的增大而减小；系统回收率水平随回收率衰减系数的增大而减小，随回收努力水平对回收率影响系数的增大而增大。
三、结论与对策建议
1. 结 论
本文研究了由一个制造商和一个零售商组成的闭环供应链动态系统的最优决策问题。针对制造商具有公平关切行为、零售商负责回收废旧产品的模式，运用Stackelberg博弈理论将参与者的讨价还价能力纳入考虑，通过建立效用函数及HJB方程，求解得到供应链成员的最优定价和最优利润，最后通过仿真分析验证得到结论，并进行参数敏感性分析。研究结果表明：
(1) 制造商利润、零售商利润和系统回收率均随着时间的推移逐渐变大并最终收敛到稳定状态，制造商利润一直优于零售商利润。
(2) 制造商利润与回收努力水平对回收率的影响系数成正比，与回收率衰减系数成反比；零售商利润与回收努力水平对回收率影响系数成正比，与回收再制品单位节约成本和回收率衰减系数成反比；系统回收率水平与回收努力水平对回收率影响系数和回收再制品单位节约成本成正比，与回收率衰减系数成反比。
2. 对策建议
在制造商为市场领导者且具有公平关切行为情境下，为使闭环供应链成员具有长期良性的合作和发展模式，在保证制造商效用最大化的同时实现零售商利润最大化，本文提出如下对策建议：
(1) 制定合理的制造商公平关切系数。制造商公平关切程度维持在合理的水平，保持系统废旧品回收率增加的趋势，一方面能够满足绿色发展的需要；另一方面能够有效降低制造商制造成本，从而降低批发价格，零售商随之降低销售价格，使供应链处于良性循环的模式。
(2) 提高零售商的回收努力水平。制造商利润、零售商利润和系统回收率均随回收努力水平对回收率影响系数的增加而增加，零售商回收努力程度的增强有利于提高系统回收率水平，进而提高制造商和零售商利润水平。
(3) 提高废旧品利用效率。制造商利润、零售商利润和系统回收率水平均随回收率衰减系数的增大而减小，加之废旧产品由于老化等原因可利用的程度各不相同，制造商对这些资源进行再制造时可根据老化程度进行分类加工，尽可能地提高二次利用效率，进而提升供应链成员的利润水平。
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